陆晨:比特币和区块链原来就是数学,更确切地说就是代数几何

从去年以来,人工智能 AI 区块链Blockchain 和比特币Bitcoin 风起云涌席卷整个中华大地,大街小巷无人不谈数字货币的神奇。我对区块链一直没有太关注,只是觉得这是一个新的什么类似于互联网的东西,和我学习的数学以及工作的金融没有什么交集。因此,我一直没有太重视和了解区块链。但随着周围的人和朋友圈里的朋友无人不谈区块链和比特币,轮番的信息轰炸强迫我一点点增进了对于它们的了解,特别感谢我的朋友圈里的几个好朋友的不断更新的链接和相关的学习材料让我不断地被动学习币圈的知识,直到有一天,我突然大彻大悟:比特币和区块链原来就是数学,更确切地说就是代数几何!

 

在那一瞬间,一个词在我的脑海中闪现:轮回。我之所以有这个反应,是因为支持区块链的重要底层加密技术是创新的不对称加密算法。现在应用最广泛的不对称加密算法是基于椭圆曲线的加密算法,其核心来自于代数几何中椭圆曲线上的算术理论。在中本聪的简明扼要,惊震四座的八页纸的比特币论文开篇的摘要 Executive Summary,作为两个基本假设之一的就是基于椭圆曲线的算术理论是不可逆的,这个原理保证了区块链的不对称加密算法的安全性和可靠性。

 

我在 1989 年末到 1990 年初首次接触到这一在当时还是鲜为人知的学科:代数几何,代数曲线,椭圆曲线。传道授业的老师之一就是前北大校长,著名数学家丁石孙先生。世事沧桑,经过了这么多年的风风雨雨的变化,我也从学习纯数学转到学习应用数学偏微分方程方向,对于曾经学习的代数几何知识,基本都要忘却了;但对于不期而遇的区块链比特币浪潮突然把我那段封存久远的记忆又重新唤起,在脑海中激荡澎湃,丁先生的谆谆教诲又历历在目。

 

今年适逢北京大学建校 120 年周年的校庆,因为我给北大汇丰商学院讲授量化投资课程的缘故,收到了老朋友本力老师特意寄来的精美礼物,非常开心。随后不久,我在另一篇纪念北大校庆文章中,看到一张很久之前的照片,照片是 70 年代后期,数学泰斗陈省身先生在阔别祖国很久之后,和夫人郑士宁女士回来受到时任中国最高领导人邓小平先生的接见。丁先生一同参加接见。看到在照片里我的两位恩师神采奕奕地站在一起,不禁感慨万千。陈先生和丁先生作为中国数学家的典范,无论从道德操守、个人修养、学术造诣都是我敬仰和学习的楷模,对我的人生产生了巨大的影响。

 

 

 

时任中国最高领导人邓小平先生接见陈省身先生及其夫人郑士宁女士等

 

作为现代数学的一个重要而且有趣的分支:代数几何研究的就是一组代数方程的零点所构成的集合(称为代数簇)的几何特性。在三维空间内的代数簇就是代数曲线或曲面。它从 19 世纪的上半叶开始以天才的数学家Abel 在研究椭圆积分时发现了椭圆函数的双周期性, 从而开创奠定了椭圆曲线的理论基础。后来历经很多世界最伟大的数 学家的努力,包括 Riemann 发展的代数函数论和复分析;杰出的女数学家E.Noether 和她的学生Van·Der·Waerden 引入交换代数和抽象代数; 庞加莱对于复数域上低维代数簇的分类工作;直到进入 20 世纪,更多的伟大数学家投身于代数几何的最前沿研究:A.韦伊在 40 年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论;50 年代中期, 法国数学家J.P.塞尔把代数簇的理论建立在层Sheaf 的概念上,并建立了凝聚层的上同调理论,这个为史上最伟大的代数几何大帝格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了坚实的理论基础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的飞跃发展阶段。

 

 

在我幼年的时代,北大就是代表中国近代史上科学和民主的圣殿, 从中学政治课上学习的五四青年运动到后面层出不穷的我所敬仰的科学家们都让我对于北大有着无比的憧憬和向往。

 

在高中的时候,我突发奇想要报考中国科技大学少年班,不幸被高中的数学老师发现,不知何故,数学老师当着全班同学不点名地把我痛斥了一顿,自此波折之后,去合肥的计划就被搁置且渐渐忘却了。后来,参加中国高中数学竞赛得以进入由世界著名数学家陈省身先生和南开数学研究所合办的陈省身数学试点班第一期学习。陈老先生已80 高龄还亲自为我们上课,讲解微分几何的真谛,诲人不倦。我对数字和分析的悟性很高,但对于几何一直是一筹莫展。期末考试来临之际,只有痛定思痛到图书馆刻苦研读,才茅塞顿开理解了陈老先生对于现代微分几何、微分流型、纤维丛理论等美妙动人之处。最后竟然考得非常喜庆吉利的 88 分,总算对得起陈老先生的心血。后来总算有惊无险地完成了陈省身数学试点班的四年本科的数学课程,全心全意地准备进入研究生的学习。

 

就在我本科的最后一学年 ,1989 年的下半年,在陈老先生的倡导提议和努力下,南开数学研究所举办了代数几何年活动,邀请国内和国际的知名代数几何、代数曲线、交换代数等最前沿的课题的专家学者。 对于我们这些初涉数学奇景,面对浩瀚数学海洋的年轻学子而言,无疑是大开眼界、弥足珍贵的学习机会,我和其他数学试点班的同学都争相报名参加这难得的和世界名师大家学习的机会。

 

那一年的代数几何年由科大校长著名数学家冯克勤教授主持,邀请丁先生、李克正教授等国内外的著名代数几何的研究学者前来为中国的学子来传授这一世界最活跃数学研究领域的最新成果。

 

作为大学四年级的数学本科生,我们对于代数几何方面的了解是非常有限的,只是在大三的时候开始学习抽象代数,拓扑学和群论的相关理论。对于代数几何,代数曲线这一博大精深的课题茫然不知从哪里开始。

 

我们在上本科时对北大丁先生就早有耳闻:著名的数学家,造诣深厚,教育家,北大的校长。这次在南开代数几何年中遇到了难得的机会向丁先生直接求教和学习,是我人生生涯的一个里程碑。

 

89 年末在南开数学研究所初次见到丁先生的印象,完全不同于我们当时报刊上所报道描述的中国数学家弱不禁风的形象,丁先生身材高大魁梧,满头银发,精力充沛,非常的和蔼可亲,丁先生平易近人的态度和对于我们提出的很初级浅显的问题耐心的讲解让我的紧张忐忑的心情顿时都烟消云散了。对于代数几何、代数数论、交换群等对我们还很生疏的内容,经过丁先生的耐心讲解都变得不是那么高不可攀、高深莫测了;对一些关键的概念和定理的思路,听了丁先生的分析讲解我才恍然大悟,理解了隐藏在字面背后的那些闪光的灵感和跳跃的思维。

 

代数几何的解决问题的方式和我们学习传统经典数学的方式有着很大的区别,在代数曲线和代数簇上重新定义我们过去熟悉的算术操作,从而发现那些妙不可言的几何特性,用超越空间想象维度的代数语言来刻画表达,丁先生所研究的代数数论就是揭示这些代数特性最本质的核心部分,数论也一直被誉为数学皇冠上的明珠。

 

当他得知我强烈的出国留学想法:到世界数学的最高殿堂——美国去进一步学习深造的时候,丁先生非常支持,并且以一个“老留学生”的身份分享了一些他当时在美国哈佛大学做访问学者的亲身经历。 在哈佛学习期间,已年过半百的丁先生无惧困难和挑战,集中精力学习最前沿的椭圆曲线的算术理论。丁先生对于学术研究的忘我态度和钻研精神深深打动了当时在哈佛任教,后来任著名的普林斯顿高等研究院院长 P. Griffiths 教授,他支持丁先生的研究。后来丁先生利用计算机发现了一条崭新的椭圆曲线,为人津津乐道。

 

在不同数域上定义的椭圆曲线上,我们还可以相应地定义加法使得椭圆曲线(代数簇)成为一个加法群。对于同一个代数曲线(椭圆曲线),变换底层的数域,研究它们之间的映射是一个非常优美的方法。当下面的基本数域是 Mod p 的有限数域时,我们就得到了代数数论问题,这也恰好是丁先生所专攻的领域;当我们把下面的基本数域变为复数域的时候,我们就得到了黎曼曲面的复几何的问题,从而代数曲线椭圆曲线成为连接在两个看似完全不相关的数学领域间的至关重要的纽带和桥梁:很多的几何问题又可以转化为深刻的代数数论问题来解决,反之亦然。特别要指出的就是定义在 Mod p 的有限域之上的椭圆曲线的离散对数问题就是比特币数字签名加密算法的技术支撑。

 

丁先生给我的另外一个最突出的印象就是让人肃然起敬的教育家, 他的那种特有的教育家的气魄和风范,当我站在他身边就可以强烈地感受到。知识学习是成人的一方面,更重要的就是个人的修养,既所谓的“做人”,超越了知识层面到了精神和意识层面,强调人的视野氛围决定了一个人能走多远。

 

丁先生于 1981 年被任命为北大数学系主任,后于 1984 年任北大校长。丁先生是数学家、数学教育家,从事代数和代数数论的研究。丁先生除了数学上的成就,他最被人乐于提及的就是他的高风亮节, 为人师表,丁先生本人就是北大精神的最好体现,他推崇的“科学与民主,兼容并包,求同存异”,最重要核心的东西是尊重人,尊重人的个性,尊重人的自由发展。

 

丁先生力排众议,远见卓识地选择了代数几何课题作为中国数学赶超世界数学的一个突破点,经过了二十多年的风风雨雨得到了验证: 代数几何椭圆曲线在理论研究和实践应用中占有越来越重要的地位, 特别是在密码学,乃至最近的区块链和比特币的底层技术支持。另外一个非常巧合的事情就是当年在代数几何年中我们学习的主要教材就是 P. Griffiths 所撰写的代数曲线椭圆曲线的专著,因此向丁先生请教是再恰当不过了。

 

丁先生支持我的留学深造计划,耐心详细地询问了我的学习的情况和想选择的数学专业方向,并且亲自为我写了海外留学的推荐信, 让我对丁先生的诲人不倦,无私奉献的精神感动不已,也暗自下定决心向丁先生学习在学术上和人品上齐头并进,做一个具有远大抱负和崇高思想的人。

 

丁先生独有的教育家和数学家的风范,谆谆教诲和他自己严以律己宽以待人,以身作则,高风亮节等对我在海外的求学和以后走出阳春白雪般的象牙塔到疯狂的华尔街上工作产生了很大的影响,我在以后的华尔街的动荡起伏,  危机四伏的投资交易生涯中都时时以丁先生为自己的榜样要求自己有强健的体魄,高尚的灵魂和不畏艰难勇于挑战的态度,坚韧不拔地向着自己的目标不断前进。

 

作者:陆晨,平安磐海资本有限责任公司首席风险官,拥有美国纽约大学数学博士學位以及注册金融分析师(CFA)、金融风险管理师(FRM)、国际风险管理师(PRM)等多种专业资质;为上海交大高级金融学院(SAIF) EMBA特邀教授、香港大学SPACE学院客席教授、清华大学澳大利亚麦考利大学应用金融客座教授,亚洲投资者学会风险管理中心执行董事。

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