据说95%的人解不出这道题,你敢挑战吗?

你可能已经在朋友圈看到过很多类似什么“史上最难数学题”之类的问题等等,它们很多都是一些标题党,“问题”要么很空洞,要么偷换概念,要么就是无关紧要的脑筋急转弯。以至于你看到下面这张图的时候,觉得它是这样的人畜无害,简单易解,那么你就错了!

这个问题可不是标题党。这张图片就是一个精明的,或者说阴险的圈套。它的确是可解的,但那真的真的不得了的难。好了,让我们开始吧!
 
我们求解的是这个方程的整数解
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首先就题而言,方程涉及有理函数(多项式除多项式的函数形式),但很显然我们可以用通分移项的方法化成一个多项式函数,所以我们实际上解得是一个丢番图方程(Diophantine equation)。正数解的要求有一点不同寻常,接下来我们会看到这个要求会让问题变得多么难。
1
变形
很明显,我们有三个变量,分别是a、b、c。这个方程是齐次的。这意味着如果(a,b,c)是方程的一个特解的话,那(7a,7b,7c)也是它的解。你能看出为什么吗?给每一个变量乘一个常数没有改变方程的结构(7只是一个例子),因为分子分母全部都约掉了。
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2
降维
这意味着这个方程看上去像是三维的,但它实际上只有两维。在几何学中,它对应着一个面(一个三元方程一般定义一个两维的面。一般来说,k个n元方程定义一个d维的流形,d=n-k)。这个面是由一条过原点的线旋转形成的,可以通过截取的单平面来理解。这是一条射影曲线。一般来说,齐次方程的整数解对应一个低一个维度的非齐次方程的有理数解。
3
这个方程的次数是什么?
我们这个方程是三次的。合并同类项后,方程整理如下:
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你可能会反对这样的变形:因为这样获得的解可能恰好使某个分母等于0,使得原方程没有意义。这是对的,我们的新方程的确有些解不与原方程对应。但这是好事(@F91)。这个多项式形式给原方程打上了一些补丁使得它便于处理;对于我们找到的任何特解,只需要代入原方程检验一下分母等不等于0就可以了。
4
 
事实上,多项式方程很容易找到某个特解,比如说, a=−1 ,b=1, c=0。这是好事:我们有了有理数解,或者说有理点。这意味着我们的立体方程(3维)实际上是个椭圆曲线。当你发现这个方程是椭圆曲线时,你会喜出望外,然后悲从中来,因为你发现椭圆曲线问题是个庞然大物(学渣哇的一声哭出来)。
5
 
首先,我们需要把椭圆曲线化成魏尔斯特拉斯(注:Weierstrass,提起他最著名的成就就是严密化微积分的ε-δ语言)形式。这是一个长得像这样的等式:
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或者有时候也会化成
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 (这被称为长魏尔斯特拉斯形式。它并不是严格必需的,但有时候会带来一些便利)对于我们而言,需要的变换由令人生畏的公式导出。
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一旦你完成了这些变形,沉闷但异常直白的代数计算可以证明它是对的。
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这个方程尽管看起来和原方程长得不怎么像,但确是如假包换的可靠模型。在图像上它长成这样,一条有着两个实部的经典椭圆曲线:
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6
 
右边的“鱼尾”连续延伸至正负无穷。左边的封闭椭圆曲线将成为解决问题的契机。给定这个方程的任意解(x,y),你都可以通过下面的等式还原所求的a,b,c:
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让我们来看看手里的这个例子。它的椭圆曲线存在一个很好的有理数点:x=−100, y=260。可能找到这个点不太容易,但检验它在曲线上就很简单了:直接代入原方程检验等式两边是否相等。现在,一旦你在椭圆曲线上找到了有理数点,如P(-100,260),你就可以利用弦切技巧进行加法,生成其它的有理数点(有理数的加法是封闭的,有理数加有理数还是有理数)。
7
 
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一开始,我们可以通过作P点的切线,找到它和曲线再次相交的点,以此增加P点的值。结果开始变得有点吓人
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这个新的点也对应一组a,b,c的值,(a,b,c)=(9499,−8784,5165)这个解用手算很困难,但用电脑就是小意思了。然而,它还不是正的。当然,困难吓不倒我们,我们继续计算3P=2P+P,操作方法就是连接P和2P找到与曲线的第三个交点再与O点相连找到第四个交点。同样的,我们计算a,b,c,然而还是同样的,结果不是正数。以此类推,计算4P,5P等等等等。直到我们计算到9P。
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很明显这不是人算的了,但交给机器,这也就是9次简单的几何程序迭代。对应的a,b,c值也很恐怖:
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这些是80位数!你不可能通过暴力计算找到一个80位数。上述的丢番图方程就是一个系数很小但整数解位数巨大的骇人案例。稍稍将方程改动一下,解就会迅速增长到盖过我们这个“可怜的”、“渺小的”宇宙的任何事物。何其美妙、何其揶揄的小小方程!
 
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试题语言:英文
团队规模:每队 6 至 8 人
个人赛• Algebra 个人科目赛(代数)10 道题,50 分钟• Geometry 个人科目赛(几何)10 道题,50 分钟• Discrete Math 个人科目赛(组合与数论)

10 道题,50 分钟

• Calculus 个人科目赛(微积分)

10 道题,50 分钟

团队赛• Power Round 团队力量赛证明题,90 分钟• EstimationTest 数值估计赛8 道题,60 分钟• Guts Round 团队车轮战

共9 套题,每套含3-4 道题,完成每套题后交卷,并领取下一套题,主席团现场评分并公布战果,80 分钟

规则
 
赛程
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奖项设置
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报名须知
比赛时间:2018年8月18日 - 19日
组委会联系方式:华北区域:010-84828941/42中西区域:028-85463627华东区域:021-55789139华南区域:0755-86728072 

 
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