AMC10/12高频考点,附对应真题解析

2022AMC10/12剩不足1个月开考,目前已进入备战的最后冲刺期。AMC特点是不重复往年考题,21-25题风格新颖、灵活多变、出其不意,是拉开差距的关键。晋级的关键并非后面的难题,如果保证前15道题都对,15-20能做对3道,晋级AIME基本稳了。因此要保证中等难度以下的知识点和习题都能掌握。

AMC10/12的高频考点

AMC10/12试题主要分为4个模块的知识点:代数、几何、数论、组合。

代数与几何的考察比重较大,占比60%以上。其中代数主要考察的内容有代数计算、多项式、方程等,几何主要考察三角形与四边形。

数论是每年的必考点,考察比重逐渐加大,内容包括整除、分解质因数、指数幂等。

国内学生在组合知识的掌握相对薄弱,乘法原理、排列数与组合数、插空法等是主流考法,每年还会有染色问题、棋盘问题等新颖考法。

代数

AMC10 代数考点归纳

多项式,余数定理,韦达定理,根与系数的关系,特殊高次方程、进阶不等式,均值不等式等

AMC12 代数考点归纳(在AMC10基础上新增以下重点知识)

复杂不等式、调和不等式、轮换不等式、柯西不等式;复杂函数问题,反函数和符合函数等

AMC10 代数重点考察方程、函数和数列;

AMC12 代数考察更加均衡,需要全面准备。

真题例题:

解析:

在这个题里面,N和M虽然实际上是确定的数,但是以未知数的形式出现的。要先根据条件列出一个不定方程,因为不定方程在限定条件是可能有唯一解或者有限定个数的解的,题中N和M都是整数,N>2M和M>4,这些限定条件排除了不可能的解,剩下的就是我们要的解。

几何

AMC10 几何考点归纳

三角形、正弦定理、余弦定理、内切圆和外切圆、斯图瓦尔特定理、共点和共线、圆和四边形,四点共圆,圆的外切四边形、正多边形等

AMC12 几何考点归纳(在AMC10基础上新增以下重点知识)

解析几何、圆的进阶知识、图形的函数表达(二维及三维)、不规则二维及三维图形、向量(二维及三维)等

AMC10 几何重点考察三角形(全等&相似);

AMC12 几何重点考察三角形、圆、解析几何。

真题例题:

解析:

从图形上来看,一个正方形被两条直线分割成了4块,我们注意到其中3块都是三角形,所以我们只要知道这3个三角形的面积比例,不规则四边形AFED也就知道了,答案自然而然就出来了。

组合

AMC10 组合考点归纳

容斥原理、二项式定理、排列、组合和概率、期望

AMC12 组合考点归纳(在AMC10基础上新增以下重点知识)

随机过程和期望、综合问题

AMC10 组合重点考察计数和概率;

AMC12 组合重点考察计数。

真题例题:

解析:

首先,五个顶点我们视为不同的,所以对它们的涂色是有顺序的。关键是要把顺序排列好,还要把情况分解好。我们用下面的树形图来表示。把每一个分支的计数算出来,最后加和就是总数了。

数论

AMC10 数论考点归纳

数,数组和序列、同余和同余方程、整数、分数和小数,进制转换

AMC12 数论考点归纳(在AMC10基础上新增以下重点知识)

二次余数,高次余数、费马小定理、各类丢番图方程

AMC10 数论重点考察因数、倍数、质数、合数、整除分析、同余分析;

AMC12 数论重点考察质因数分解、同余。

真题例题:

解析:

这个题的正规解题方法要用到费马小定理和中国余数定理,如果能掌握这些当然很高超。但是即使不会这两个定理,也可以用几次WLOG(without loss of generality,不失去一般性)的特例推理,进行解答。

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