发刊词 | 用动图让你直观理解数学中的定理

图在数学中不算新的东西,不论在任何文化中,自从有了数字就有了图。

比如,表示1这个数字,可以画一条线表示,表示2这个数字,就画两条线。

 

当人们发现100,1000这样的数字用画一百一千根线很麻烦的时候,便发明了进制:用一种特殊的图,表示100,1000等等,这是图和代数的联系

 

 

 

图和几何的联系更多。

 

无论是中国的《周髀算经》还是外国的《几何原本》,在讲几何的时候必定会画图。

 

或者说,图就是一种数学语言,它在数学中的重要性丝毫不低于数字和字母,以至于平面几何、解析几何、立体几何贯穿整个中学数学。

 

 

说到中学数学教学,大家会想到中学时代老师在黑板上画着各种图形,写着各种公式。

 

大家有没有遇到这种情况,老师说:

 

“看,这条线长度恒过这一点”

 

“看,这个比值算出来一定是2”

 

大家脑子里却对这个“恒等于”“顶点”的问题没有一个直观的感觉,好像只是算出来的,不是看出来的。

 

 

 

一、二十年前数学教学是这样可以理解,但2018年的今天,我们的数学基础教学在很多地方依然是这样讲这样学,很多学生觉得不好直观理解的东西依然不好理解。我就在想,我做什么能帮助正在初中入门数学的学生直观的理解这些概念?

 

 

答案就是:

 

学数学到底是在研究什么?在我看来,是研究数字之间的连系和图形之中的变换。如果大家能能预先对于这个过程有个直观的印象,再去证明和记忆就不难了。

 

现在数学教学中就缺乏一个直接能看到的过程。我来举个例子:

 

 

上图是传统的教学方法:这个定理首先有三步作图过程,做出线段 MP 和 MQ 后,大家对它的长度是不是一定相等的不确定,看到结论说的是相等,云里雾里地就着手去证明,忽略了一个更重要的事:让学生亲眼看到相等。只有亲眼看到了无论图形怎样变化结论都是成立的,才能把这个知识直观的理解,而非死记硬背。

 

动图是我提倡的数学学习新工具。它既不像视频那么麻烦,又不像定图那样只能反映一个时刻的信息。比如上图,我们可以直观地看到,无论这三条弦怎么变化,测量出的 AB 和 BC 的长度永远都一样。这种变化中的不变性,正是数学里要研究的。

 

所以,花几秒钟看这个动图,比对着定图记忆十几分钟都有用。

 

这也正是我所想的,2018年的数学教学应该比一二十年前进步的地方。

 

当然,证明过程也是不可替代的。

 

其他学科,比如物理化学,研究方法是:如果做实验出来结果符合理论,那么理论就是对的。

 

而数学的研究方法是:即使举出一千个一万个图形是对的,也不能充分地说明这个定理是对的。想说明一个定理的正确性,要靠严谨的证明。

 

《图解数学》系列每个定理都会告诉大家如何证明。

 

比如其中的一期:↓↓↓

 

这一期系统的介绍了相似三角形的基本概念怎么直观的理解,非常适合6-8年级学生入门平面几何,而且这个知识是 AMC8 重中之重的考点,本人大力推荐有意愿参加 AMC 美国数学竞赛的同学阅读。

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