别人家学校的期末考试:一次函数难不难?

初中数学什么最难? 一次函数来领衔!

 

是不是大吃一惊, 一次函数y=kx+b? 除了正比例函数y=kx外,没有比它更菜的了。

 

先看看数学课本的题目是怎么样的?

 

已知点A(-1,a)和B(1,b)在函数y=-2x+m 的图像上,试比较a与b的大小。

 

乍一看三个未知数a,b,m很吓人,仔细一看该函数是单调递减的,自然a>b.轻松搞定,一点都不难!

 

实际上,一次函数在平面直角坐标系中表示一条直线,它是代数和几何的桥梁,把两者结合起来,很容易出中考的压轴题或者更难的名校自主招生题 甚至竞赛题。

 

先来一道简单的热热身。

 

易知AC=AB=2, 且△ABP与△ABC共底边AB,因两个三角形面积相等, 故顶点P到底边AB的高也为2. 如图,

 

如果使用点到直线距离公式, P点的坐标立刻就能求出来了。

不幸的是, 这个公式是高中课本的内容,如果出现在初中答题卷上,除非自己从头推导一遍,不然是一分不得的。

 

来看看如何用初中所学的内容求解。

 

如下图,延长BP交x轴于点Q,

∵P点坐标(a,1/2) ∴PH=1/2=OB/2

所以QH=OH=|a|,

S△ABQ= AQ * OB /2 = AQ/2

S△APQ= AQ * PH /2 = AQ /4

2=S△ABP= S△ABQ - S△APQ = AQ /4

∴ AQ =8.

 

再来看看一道填空题:

 

在平面直角坐标系中,y=0.5x - 6分别与x轴,y轴交于A,B两点。F(6,0)在x轴上,P,Q是线段AB上的两个动点, 如果△OPF ≌ △OPQ, 求P点的坐标。

由△OPF ≌ △OPQ可得,OQ=OF=6,  可以得到满足条件的两个Q点,其中有一个Q点和B点重合。

当Q点和B点重合时, 由∠POF=∠POB可以得到P点在y=-x上。

再联立方程y=0.5x-6, 易知P坐标为(4,-4).

再看另外一个Q点, 根据两点之间距离公式, 由OQ=6,可以得到Q点坐标。

再由PQ=PF,可以解得P点坐标。这是代数解法。

 

几何解法也很有趣, 因为OP是∠AOQ的内角平分线, 根据内角平分线定理,

PQ: PA = OQ : OA = 6 : 12 = 1 : 2

又PF=PQ, 所以AP=2PF.

易知△APF 相似于 △AOB,  所以PF⊥AP.

Rt△APF中, 知道了斜边为6, 两直角边互为1:2, 高PH很容易求出来了,P点的坐标迎刃而解了。

 

再举一反三,我们会发现P,Q两点分别在线段AB的2/5, 3/5上!!

作OG⊥AB, 易知△OBG 相似于 △AOG 相似于△ABO,

若BG =b, 则 OG =2b, AG = 4b = 3a +b.

所以a=b, 很神奇吧!

 

再来一道综合题:

 

如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2分别交x轴,y轴于A,B两点, C为A,B的中点。D是线段OA上的动点,|OD|<1, 连接CD并将CD绕D点顺时针旋转90°至DE, 交y轴于F点,过E点做x轴平行线交AB于G点。 求四边形BEFG面积的最小值。

动点,旋转, 极值问题? 是不是有点晕?

下面是解题大概思路,

 

显然,EG⊥ BF, 四边形的面积等于(EG*BF) /2.

另∠A=45°, OA=OB=2. CD ⊥且 = DE

做垂线CM,EN,易知△CMD ≌ △ DNE

 

DN=CM=AM=1

令OD=m, ON=DM=1-m, EN=DM=1-m

所以∠EON=45°。 故OE//AG, EG=OA=2

相似三角形, DO: OF=DN:NE=1:(1-m)

所以OF=m(1-m),  当m=1/2时取最大值1/4

此时BF取最小值7/4, 四边形面积取最小值 2* 7/4 /2=7/4.

 

一道题综合了初中数学代数、几何的多个知识点,同学们可以自己梳理一下

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