2021年澳大利亚数学思维挑战活动5-6年级知识点汇总!

因国际教学模式多为螺旋式,所以相邻等级测试所运用的知识点多为相近,变化主要体现在试题难易程度,对于知识的掌握理解运用。

此篇知识点主要针对B-Upper Primary ,小学五到六年级的学生

 

1、计算

一、乘、除法混合运算的本质

商不变性质:被除数和除数乘(或除)以同一个非零数,其商不变。

即:a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷m)÷(b÷m)

m≠0,n≠0

在连除时,可以交换除数的位置,商不变。

即:a÷b÷c=a÷c÷b

除法运算律:a÷c±b÷c=(a±b)÷c

在乘、除混合运算中,被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置(即带着符号搬家)。

例如:a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a

在乘、除混合运算中,去掉或添加括号的规则。

去括号情形:

(1) 括号前是“×”时,去掉括号后,括号内的乘、除号不变。

即:a×(b×c)=a×b×ca×(b÷c)=a×b÷c

(2) 括号前是“÷”时,去括号后,括号内的“×”变成“÷”,“÷”变成“×”。

即:a÷(b×c)=a÷b÷ca÷(b÷c)=a÷b×c

添加括号情形:

(1)括号前是“×”时,

加括号时,括号内的乘、除号不变。

即:a×b×c=a×(b×c)a×b÷c=a×(b÷c)

(2)括号前是“÷”时,

加括号时,括号内的“×”变成“÷”,“÷”变成“×”。

即:a÷b÷c=a÷(b×c)a÷b×c=a÷(b÷c)

两个数之积除以两个数之积,可以分别相除后再相乘。

即:(a×b)÷(c×d)=

(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c)

 

二、常用特殊数的乘积

125×8=1000 25×4=100 125×3=375

625×16=10000 7×11×13=1001

25×8=200 125×4=500 37×3=111

 

三、其它特殊数的乘积

拉面数(乘“11”),

例如:11×11=121;

89×11=979;

2014×11=22154;

 

重码数,

例如:201620162016=2016×1001001

 

山顶数,

例如:

12345678987654321=111111111×111111111

(“1”的个数最大为 9)

 

轮转数,

例如:1234+2341+3412+4123=

(1+2+3+4)×1111

 

走马灯数:

142857×1=142857;

142857×2=285714;

142857×3=428571;

 

142857×4=571428;

142857×5=714285;

142857×6=857142;

142857×7=999999。

 

缺八数:12345679×9=111111111

 

四、相关公式

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五、数字谜问题

1、一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。

这种不完整的算式,就像谜一样,要解开这样的谜,就得根据有关的运算法则、数的性质(和差积商的位数,数的整除性、奇偶性、位数规律等)来进行正确的推理、判断。

 

2、解数字谜

一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口。推理时应注意:

1. 数字谜中的文字、字母或其它符号,只取 0-9 中的某个数字;

2. 要认真分析算式中所包含的数量关系,找出尽可能多的隐蔽条件;

3. 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法(试验法),逐步淘汰掉那些不符合题意的数字;

4. 数字谜解出之后,最好验算一遍。

 

2、几何

一、 图形剪拼

即几何操作题,包括:

1、 等分面积;

2、 等分三角形;

3、 分割与拼合;

4、 多边形分割;

注:平面图形分割前后总面积不变。

经典三步:算、切、拼。

 

二、还原问题

方法:箭头表示法

注意:倒推时,加减互逆,乘除互逆。

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3. 多者还原问题

多组箭头表示(注意:步调一致)

 

4. 算式出错型

①加法:加数增大‹和增大

②减法:被减数增大‹差增大

减数增大‹差减少

③乘法

④除法

 

三、对称轴问题

①线段有两条对称轴,是这条线段的垂直平分线和线段所在的直线。

②角有一条对称轴,是角平分线所在的直线。

③等腰三角形有一条对称轴,是顶角平分线所在的直线。

④等边三角形有三条对称轴,分别是三个顶角平分线所在的直线。

⑤矩形有两条对称轴,是相邻两边的垂直平分线。

⑥正方形有四条对称轴,是相邻两边的垂直平分线和对角线所在的直线。

⑦菱形有两条对称轴,是对角线所在的直线。

⑧等腰梯形有一条对称轴,是两底垂直平分线。

⑨正多边形有与边数相同条的对称轴。

⑩圆有无数条对称轴,是任何一条直径所在的直线

 

四、几何面积知识点

1、基本思路:

在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

 

2、常用方法:

a. 连辅助线方法

b. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

c. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。

d. 利用特殊规律

①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积)

②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。

 

3、基础公式

1)长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×2

2)正方形的周长=边长×4C=4a

3)长方形的面积=长×宽 S=ab

4)正方形的面积=边长×边长 S=a*a=a2

5)三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2

6)平行四边形的面积=底×高 S=ah

7)梯形的面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2

8)直径=半径×2d=2r 半径=直径÷2r=d÷2

9) 圆的周长=

圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr

10)圆的面积=圆周率×半径×半径

 

五、几何体

立体图形相关公式

依次为:名称、图形特征、表面积、体积

长方体;

8 个顶点,6 个面,相对的面相等,

12 条棱,相对的棱相等;

S=2(ab+ah+bh)

V=abh=Sh

正方体;

8 个顶点;6 个面,所有面相等,

12 条棱,所有棱相等;

S=6a2

V=a3

 

圆柱体;

上下两底是平行且相等的圆,侧面展开后是长方形;

S=S 侧+2S 底

S 侧=Ch V=Sh

 

圆锥体;

下底是圆,只有一个顶点,

l:母线,顶点到底圆周上任意一点的距离;

S=S 侧+S 底

S 侧=rl V=Sh

 

球体;

圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。

S=4r2

 

3、数论

一、整除初步

1、若整数 a 除以非零整数 b,商为整数,且余数为零我们就说 a 能被 b 整除(或说 b 能整除 a),记 b|a,读作“b 整除 a”或“a 能被 b 整除”。

 

2、能被 2、3、5、9 整除数的特征

1).能被 2 整除的数的特征:个位上是 0、2、4、6、8 的数都能被 2 整除。

(1) 能被 2 整除数叫做偶数;不能被 2 整除的数叫做奇数。

(2) 奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;

(3) 奇数±偶数=奇数;偶数±奇数=奇数。

(4) 多个数相加(减)时,奇数个奇数之和(差)还是奇数。

2).能被 3 整除数的特征:一个数的各个数位上的数字的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除。

被 3 整除数的特征的位值原理证明:

假设一个任意的四位数¯a¯b¯c¯d¯,它可以表示为:

¯a¯b¯c¯d¯ = 1000a + 100b+ 10c+ d

= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d

= 999a + 99b + 9c + a + b + c + d

= (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d).

因为 3|999a+99b+9c,所以只要 3| a+b+c+d 即可,即上述定义。

注:能被 3 整除的数还可以用“弃 3 法”进行判断:如果该数中有 3 或者 3 的倍数的数全部弃掉,最后如果所有的数字能全部弃掉,则该数可以被 3 整除。

3).能被 5 整除数的特征:个位上是 0 或 5 的数都能被 5 整除。

能被 5 整除数的特征的位值原理证明:

假设一个任意的四位数¯a¯b¯c¯d¯,

它可以表示为:¯a¯b¯c¯d¯=1000a+100b+10c+d

因为 5|1000a+100b+10c,所以只要5|d 就可以了,即上述定义。

4.)能被 9 整除数的特征:一个数的各个数位上的数字的和能被 9 整除,这个数就能被 9整除。

被 9 整除数的特征的位值原理证明:

假设一个任意的四位数¯a¯b¯c¯d¯,它可以表示为:

¯a¯b¯c¯d¯ = 1000a + 100b+ 10c+ d

= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d

= 999a + 99b + 9c + a + b + c + d

= (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d).

因为 9|999a+99b+9c,所以只要 9| a+b+c+d 即可,即上述定义。

注:能被 9 整除的数还可以用“弃 9 法”进行判断:如果该数中有 9 或者 9 的倍数的数全部弃掉,最后如果所有的数字能全部弃掉,则该数可以被 9 整除。

 

3、2、3、5 整除的综合应用

1. 能同时被 2、5 整除的数的特征:个位上必须是 0.

2. 能同时被 2、3 整除的数的特征:偶数,且数字和是 3 的倍数。

3. 能同时被 3、5 整除的数的特征:个位为 0 或 5,且数字和是 3 的倍数。

4. 能同时被 2、3、5 整除的数的特征:首先个位上必须是 0,其次这个数的各个数位上的数字的和能被 3 整除。

 

二、“奇偶分析法”

常用知识:

1、奇数表示:2n+1 或 2n-1

2、偶数表示:2n

3、加减法(加减同性):

偶数+偶数=偶数;奇数+奇数=偶数;偶数+奇数=奇数;

4、乘除法:

偶数×奇数=偶数

(推广开来还可以得到:偶数个奇数相加得偶数)

偶数×偶数=偶数

(推广开就是:偶数个偶数相加得偶数)

奇数×奇数=奇数

(推广开就是:奇数个奇数相加得奇数)

5、任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

 

三、至多至少问题

至少:就是取满足条件中所有数的最小值.这句话有两个意思,第一,在指定集合范围内,必须都满足要求,第二,指定集合存在最小值.

例如,已经-x²≤a 在所有实数都成立,那么 a 的最小值是多少.

第一,先求出满足-x²≤a 所有 a 的值,显然只要 a≥0,

第二,a=0 是这个集合的最小值,所以 a 的最小值是 0. 两个条件之中有一个不满足,就没有最小值。

至多:就是取满足条件中所有数的最大值.

这句话也有两个意思,第一,在指定集合范围内,必须都满足要求,第二,指定集合存在最大值.

 

四、同余定理

①同余定义:若两个整数 a,b 被自然数 m 除有相同的余数,那么称 a,b 对于模 m 同余, 用式子表示为a≡b(mod m)

②若两个数 a,b 除以同一个数 c 得到的余数相同,则 a,b 的差一定能被 c 整除。

③两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。

④两数的差除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数差。

⑤两数的积除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数积。

 

五、100 内质数

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41

43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

 

4、组合初步

一、解排列组合问题

首先要弄清一件事是"分类"还是"分步"完成,对于元素之间的关系,还要考虑"是有序"的还是"无序的",也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理,排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法:

1、特殊优先法

对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.

例如:用 0,1,2,3,4 这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有  -___个.(答案:30个)

2、科学分类法

对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生

例如:从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有___种.(答案:350)

3、插空法

解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决

例如:7 人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是___.(答案:3600)

捆绑法相邻元素的排列,可以采用"整体到局部"的排法,即将相邻的元素当成"一个"元素进行排列,然后再局部排列

例如:6 名同学坐成一排,其中甲,乙必须坐在一起的不同坐法是___种.(答案:240)

4、排除法 

从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.

 

二、其他解题方法

1、分类加法计数原理

完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法‥‥‥则总共有 m1+m2+…+mn 种方法。

2、枚举法

在进行归纳推理时,如果逐个考察了某类事件的所有可能情况,因而得出一般结论,那么这结论是可靠的,这种归纳方法叫做枚举法。

采用枚举算法解题的基本思路:

(1)确定枚举对象、枚举范围和判定条件;

(2)枚举可能的解,验证是否是问题的解。

 

三、解题原理

1、加法原理:分类枚举

2、乘法原理:排列组合

3、容斥原理:

总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC

常用:总数量=A+B-AB

 

5、单位换算

1 米=3 尺=3.2808 英尺=1.0926 码

1 公里=1000 米=2 里

1 码=3 英尺=36 英 寸

1 海里=1852 米=3.704 里=1.15 英里

1 平方公里=1000000 平方米=100 公顷 =4 平方里=0.3861 平方英里

1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米

1 公顷=100 公亩=15 亩=2.4711 英亩

1 立方米=1000 立方分米=1000000 立方厘米

1 立方米=27 立方尺=1.308 立方码=35.3147 立方英尺

1 吨=1000 公斤=1000 千 克

1 公斤=1000 克=2 斤(市制)=2.2046 磅

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