马克思的微积分笔记1

从前,有一位叫做马克思 普朗克(Max Planck)的很帅的物理学家。有一天,他正在思考黑体辐射问题。他看了一下旁边的钟正一秒一秒的过去。于是他突发奇想,会不会能量也是像钟的秒针这样,是一份一份的走的呢。于是他建立了量子理论,普朗克的钟(单身可撩)的故事也由此传开…

 

AP考试是一个美国大学理事会(Comfirmed Bitch)提供的大学先修课程,对于要出国的小伙伴肯定不陌生啦,还是建议准备出国的小伙伴去考一下。科目很多,大家可以自行选择,现在正在报名哦。微积分呢作为中国学生的几乎必考科目,也是备受大家的关注。

其实AP的微积分,相对起中国的高数课来说还是很简单的。只要大家稍微认真点,自己拿个5分还是没问题的。

 

函数

函数说白了就是微积分的研究对象。函数的知识呢大家也都学过,唯一稍微需要提及的地方就在于参数方程和极坐标。参数方程其实就是我们写不出x和y的直接联系,但是我们发现他们和一个共同的变量的关系很好写出来,所以就发明了参数方程(请大家自行想一下摆线的例子)。关于极坐标就是把笛卡尔坐标系的横竖两个变量换成角度和到某个点的距离,这样呢很多东西都更方便了。比如大家可以想想,在圆的例子中,r和角度有什么关系(这个问出来让ads一度尴尬了30秒钟)

好了函数本身也没什么好讲的了。不管是多复杂的一个函数还是形式的函数,其本质都是一样的,那就是一个东西怎么变,另外一个东西跟着怎么变,只不过我们把他用数学描述出来了而已。

 极限

微积分里面第一个最重要的概念就是极限了。AP课程里面没有严格的定义极限,不过我们还是稍微了解一下。所谓无穷小,就是你随便说一个多小的东西,它都可以比你说的那个东西还要小。

一般呢AP就给你一个除式,让你算一下当x趋近于某个极限时y是多少,通用的套路呢就是上下同时除以一个最高次数项,这样第次数的东西变成了x分之一,所以趋近无穷大时这些就都变成0了。大家可以自己想一想当上下的最高次数不一样时,他们的规律是什么。初次之外呢还要注意一下正无穷和负无穷的一个微小的区别,比如这个perfect example:

这个例子就把负无穷的概念出来了,因为下面平方在开根就变成正了,而上面还是负,所以整个极限就是-3.

除此之外呢就是一个叫做夹逼准则的东西,英文也叫做sandwich theorem,就是下图。

 

就是在一个区域内,一个函数大于函数a,小于函数b,然后a,b在某个点的极限相同,那么这个函数在这一点也取这个极限。好了这个也是一个很自然的定理,我觉得也不需要什么严格的证明了,那么现在我们就来应用一下:

我们求这儿一个极限的大小。这个极限其实并不是那么容易可以直接求得的,但是我们可以利用夹逼准则快速的求出来,只需要通过这灭那个这个东西始终在cos x 和1 之间就行了,而我们恰巧有知道这两个在0的极限都是1. 当然在证明中我们今天遇到一个问题, 就是我们一味的象征这个不等式成立, 忽略了他们的范围, 我们这儿只需要考虑0到一个地方就行了, 因为我们关心的是0嘛.  AP里面关于这个极限的考法无非就是把x换成5x之类的,本质是不变的。

还有就是连续的概念了,由于这个也不是特别重要,大家只需要记住连续的三个条件就可以了:分别是在此点有定义,有极限,以及这个极限等于此点的函数值本身。其实第二个条件是包含在第三个里面的,所以国内的教材一般写的是两个条件。

 

好了,今天就只讲了这些东西,下次去给ads上课的时候再给大家补充好了。

说起微积分,还是推荐几个学习微积分的途径好了(这就不以ap为参考了)。

 

1. 《Calculus》 作者 James Stewart.

这本书应该是全球最又名的微积分教材了(同时还有托马斯微积分,不过个人没看过就不推荐了),将的非常好,最重要的是习题和答案编的非常好。另外stewart先生也是有名的小提琴家。可以说是是男神本神了。

2.  《微积分学教程》 作者 菲赫金哥尔茨

这是三本典型的俄罗斯教材,众所周知,俄罗斯的教材非常变态(比如经典力学的数学方法,嗯, 买回来发现是本数学书)。这本书呢应该是微积分里的百科全书了,小钟也一直保留着这本书在电脑里面,可以说只要是有关微积分的问题,这里都可以找到答案。

3.  MIT微积分公开课 微积分重点

这个直接上网易公开课搜索微积分重点就行了。这个教授讲的非常好(毕竟MIT),他还开了一个线代课程也很好,内容也是高中能听懂的水平。对于不想看书的同学这个真的是绝好的材料了。

4.  PengTitus的YouTube频道

Peng老师是台湾的一名医生,不过在美国完成了物理专业的学习,上课的风格呢虽然不是特别激情,但是内容真的安排的特别棒。他的频道上还有很多东西,比如小钟的变分法和时空图就是受教于这位老师。当然这个在油管上对于大家也是一个比较麻烦的事,所以就看自己啦。

 

好了,关于微积分就是这些。小钟发现有一些对物理刚开始感兴趣的朋友不那么喜欢数学。但是其实随着物理的深入学习,数学真的是离不开的,而且也会越来越有趣,如果说物理是要研究A和B的话,那数学就是要研究A to B的这个箭头,当这些箭头拼起来的时候,物理的网络也就自己形成了。

 

好了今天还是让费曼先生帮我们结尾吧。

 

Physics is to math what sex is to masturbation.

            —–Richard Feynman

 

 

 

 

 

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