数学竞赛学习方法漫谈(下)

本文作者何天成,在第58届国际数学奥林匹克(IMO2017)获得金牌。广东华南师大附中2017届毕业生,现北京大学数学科学学院2017级新生。本文发表于“数学新星网”。作者非常详细地阐述了参加各级竞赛直至国家集训队、代表国家参加IMO的各种心路历程和学习方法,对于参加竞赛的同学具有很强的指导作用,小编在此将分三期编辑,并分享给大家。

关于具体的备考

下面这些内容主要针对自学,如果你有一个会精心安排你的备考计划的竞赛教练,下面的这些内容仅供参考,主要还是要跟着教练的思路走。

关于培训,在这里我不作推荐,但是个人觉得如果可以的话最好还是要参加一些培训,了解一下最新的题目和方法。

书和题

以下讲的这些都是我自己听过或者做过的书和题目,应该大部分都可以在网上找到 pdf 版本,也算是打广告啦)当然,没有提到的书和题很可能是没有做过的。不敢枉加评价。

一般来说,刚刚接触竞赛的新人都需要一套系统全面的入门书籍,比如:《 奥赛经典》、《 奥数教程 》 、《 小丛书 》 等。对于这些书,如果可以的话当然是选一套书慢慢啃,但其实几乎没有人能够有毅力地踏踏实实做完一套这样的“大部头”…… 所以你可以先不这么“踏实”地先了解一下做题的方法,然后做一些题,不一定要做完所有习题。

在刚开始接触新的领域的时候可以直接看例题的答案,但是最好每个题都要经过一段时间的思考,至少也应该知道自己没有突破的地方在哪——那就是你能学到的新东西。要学会举一反三,这样很快就能掌握很多方法。

关于联赛的模拟题,除了学校教练的题目,我只做过 《 中等数学 》 的模拟题(包括非增刊和增刊)。当然,模拟题的难度总归与真正联赛可能会有差距,所以如果有些套题做下来点思路都没有,很可能是题目确实难。不必太在意;但是如果是自己算错的很多,就要找原因了。事实上,我自己的体会是,增刊模拟题一试平均分与真实联赛的成绩差距不会很大。可能模拟会稍难一些,但是真正考联赛的时候会比较紧张,也有可能会出现低级失误。

在稍稍进步一些之后,实际上你己经可以做出一部分联赛二试难度的题目了,但是稳定性却不能保证。这个时候,比较重要的是补充短板。可以看之后的具体分支中的书。

关于备战二试较难的题目和 CMO 以上级别的考试,我强烈推荐单蹲的 《 数学竞赛研究教程 》。尽管这本书不长,但其中很多章节里的思想很关键。尽管现在新的方法很多,很多很难的题目却恰恰用的是老的方法。我觉得这本书是值得从头到尾扎实地把所有题做一遍的。

《 命题人讲座 》 系列是一套补短板的好书,但也有不足一一部分书的部分章节太偏太难,可能更像是科普而非针对竞赛。我自己看过的书大概在之后写了,其他的书就没怎么看过了。

一些流行的期刊,比如 《 中等数学 》 等,可能会载有一些最新的题目和方法。我推荐大家在看书了解传统的方法的同时,最好也要了解最新的题目与新兴的方法。

之前说到过两套所有人都要做的题目:《 走向 IMO 》和 IMO 预选题。这两套题目都非常好,在准备CMO和TST时都可以做。IMO预选题大致按照难度排序,并且题目本身大都很优美。(当然,其中有些题目可能作为竞赛题确实过难了一些……)

当然,题目看似虽少,如果给足时间做这些题目,实际上也需要不少时间。从 IMO官网( www.imo-official.org )的problems里可以找到近年的IMO预选题(IMO shortlist)与多种语言的IMO真题。当然,你也可以从官网里找到历年考试的成绩与选手的资料(包括照片哦),在做 IMO 题目的时候可以以此为参考。

数学新星网(www.nsmath.cn)里有一些不错的文章,新星征解的难度也不错(当然,难度不太均匀,建议以题为单位单独做不要计时),对数学竞赛可能会有帮助。

很多人都会逛一个论坛 AOPS (www.artofproblemsolving.com ) ,进入 community, contest 就可以找到很多其他国家的题目了,也可以在论坛上与世界各地的数学爱好者讨论。我自己做过近年美国的USAMO , USATST , USATSTST 试题,确实也不错。

另外, AOPS 上的方法一般是网友自己做出来的,可能有很多方法与官方答案不同。有很多非常优美的方法值得学习一一有些题目官方答案很复杂,但在 AOPS 上却有短而精辟的解答。

Aigner 与 Ziegler 的《Proofs from THE BOOK 》是一本拓宽视野的好书。平时没事可以翻翻,里面的很多证明有推广价值。(不过有的章节需要用到高等数学的知识,看不懂就留给以后再看吧)

专题

下面按照代数、几何、数论、组合的顺序给出一些具体的建议。代数主要的题型有多项式,复数,数列,不等式,函数方程。关于代数,个人认为学一些数学分析和高等代数对代数感会有提高——有些题目会用到分析或者代数的思想,未来的题目也很有可能向着这个方向发展,所以有时间的话推荐大家学一些。

系统讲多项式和复数的书其实不多,《 数学竞赛研究教程 》里有讲到一些。但我对复数和多项式的了解主要还是来自于题目。有一些特殊的多项式,比如 Chebyshev 多项式,还是要了解的。多项式另一个考点是多项式的数论性质,比如 Hensel 引理等,也要了解。

数列,要熟悉各种各样的换元法和求通项公式的方法,能求出通项公式的数列往往可以通过通项公式大幅简化问题。数列的另一种考法是与数论结合。比如像 Fibonacci 数列这样的二阶线性递推数列有很好的数论性质,要专门研究。

不等式是一个大坑 ,种类繁多,套路复杂。拿到一个不等式,第一件事一定是猜取等,通过取等确定最基础的方向一般来说,取等都是比较容易猜出的。比如若干取0若干相同;但是也有例外,比如不对称的不等式和一些算常数的不等式。遇到不确定取等条件的不等式,最好先观察有没有简化的方法:比如可以通过调整,让最小者是0;对局部求导,得到一些要满足的性质等等。

三元对称不等式有一个很厉害的方法,就是配齐次,通分,展开,然后利用 Schur 不等式和 Murihead 定理一点一点消去一些项(当然还有直接把一些平方展开可以得到的“自制”不等式),最后把它拆成若干个非负的东西之和就可以了。(一般来说,不等式都不会太强,一点一点来总能可以做出来的)当然,现在考的三元对称不等式越来越少了,一般也不会让你可以这么暴力的解出,比如给一个很不友善的条件之类的( 如

a2+b2+c2=1 让你配不了齐次)遇到这种情况还是老老实实用传统的不等式方法(均值,柯西等)做吧。

切割线法和局部不等式是解决问题的独门秘籍。如果遇到简单放缩无法奏效的情况,可以试着自己构造,一个这样的局部。

如果不等式中变元是分离的,可以考虑用 karamata 不等式和Jensen 不等式,验证一下凸性,说不定就做完了或者大幅简化问题。

调整法很笨,但是有的时候却能奏效。但是调整法要注意:如果要使用无限次的平均调整,一定要说明调整是作用在紧集上的,从而最小值点存在。另外,不是所有题都可以轻易地调整出来。如果调整法计算量不小的话,试试其他方法吧。

函数方程,是 一个中国考察得比较少的方向,但是在 IMO 预选题代数里往往占据“半壁江山”。个人觉得函数方程是代数里很难提高的部分,不同题目的处理方法也不太有共通性。虽说本质上就是不断代入。但也有 一些技巧,比如寻找函数方程的单调、单射满射等性质;考察函数的值域,或者取函数的等于目标函数的点的集合,刻画集合的性质以证明是全集:适当给出变元间的关系使得等号两边部分项相等而消去;把较复杂的复合函数带入,结合之前的结论变形消元等等。

代数历来是中国的传统强项与国内竞赛中的一大考察重点。不过相对而言,代数对基本功要求较高,通过训练会有较大提高。

几何

几何与其他方向不同,有多种本质不同的处理手段,最关键的是掌握多种手段解题——纯几何(包括几何变换),三角,复数,重心坐标系,解析几何。

这里我不讨论比较“奇怪”的几何题,比如几何不等式或者立体几何。当然主要原因是考得不多,我自己也没有学过……纯几何法,简单来说就是几何的传统方法 一般标准答案一定会至少给出一个这样的纯几何法,所以普适性最强。关于纯几何,最权威的书或许是 《 近代欧氏几何学 》。这本书里记录了很多很有趣的性质,但是对具体处理几何题似乎帮助不大……不过有向角和有向线段的书写在这本书里有,可以练习一下;另外,这本书里面讲了很多关于反演的性质,如果你不熟悉反演变换,把这本书里面的性质证一遍会熟悉很多。反演是处理几何题的常用手段,一般来说,在拿道题目之后都要检测一下能不能通过反演大幅简化问题。这是一个处理很多几何问题的捷径,必须要学会,也不算很难。

调和点列的性质很多,也有很多很“套路”的题目可以用调和和配极做。关于这个,我印象里 《 中等数学 》 有一篇关于调和的文章讲的比较详细。

几何的定理和构型要熟悉。比如伪内切圆,三角形五心的关系, Miquel 点,帕斯卡定理、笛沙格定理等等。很多几何题是基于这些构型的,如果不熟悉的话非常吃亏。

纯几何大概能讲的就这么多,最后要记住:如果做不出来,请画一个标准图,找相似、共线、共圆.大智若愚,往往做不出题的原因是你对这个图形的结构了解的还不够深,只需猜到一些结论或许很快就能得到突破。

 

三角,是简单几何构图中计算起来最快的方法,也是覆盖面最广的方法,所以联赛几何经常可以用三角做。三角法的技术含量其实不算很高,大概就是把角写出来(这里可能要用角元梅、赛),然后用正弦、余弦定理表示边,最后算出对应的性质。需要注意的是:和差化积、积化和差等三角变形公式必须非常熟悉。并且在处理具体问题的时候,一般来说乘比加的形式更漂亮,因为更容易消掉一些东西 , 所以在表示边的时候尽可能少用余弦定理,余弦定理一般是最后带入算。

另外,三角法有时要配合同一法。有时候一个角看似不好求,实际上就是已有角的线性表示,带入之后一下就做出来了。所以在三角法陷入僵局的时候可以考虑带入特殊角。

复数法。复数法其实适用范围并不广泛,但是有的题目用复数会远简单 —— 复数是做几何题的独门兵器。复数法 一般来说只能适用于圆比较少的情况:因为给定 3 点求圆心坐标很困难。一般来说,原点取一个圆的圆心,并把这个圆取成单位圆,这样可以认为圆上的点有zbar{z}=1。相似三角形用复数比较容易表示,但解两条直线的交点比较困难。在计算的过程中,尽量把所有点都用单位圆上的复数表示,这样取共扼只需要把里面所有单位圆上的复数z分别换成1 / z 即可。

在用复数法解题之前要先判断一下计算的复杂度。一般来说,表示起来复杂的点不能太多,否则计算量会指数级增加。

重心坐标系我不会,但似乎也有其用武之地,有兴趣的同学可以自己了解。

解析几何法。这是一种很暴力的方法,适用范围最差,计算量最大。我几乎没见过有人可以用解析几何做出 CMO 以上难度的题,就算有,用三角也可以比较快的做出来。当然,有的题目用曲线系等“高级”解析几何方法可以迅速做出,可以参考单增 《 解析几何的技巧 》。

处理一道几何体,一般要先画一个比较标准的图,然后观察是否有好的性质,估测各种计算法的复杂度,然后选择一种方法做下去。特别要注意的是,在 CMO 与之后的考试中,如果点线之问的位置关系不确定。最好使用有向角与有向线段或者分情况讨论(尽管一般是本质相同的);特别的,在每个交点取出之前,一定要先询问自己“是否有交点”,避免因为这样的平凡情况被扣分。

中国国内的考试对几何的要求不算高,并且很多几何题可以用“算”的方法解出,所以高手做几何题往往更偏重计算法。(有一定原因是中国选手代数基本功较好)计算法的优势在于熟练之后所需时间比较稳定。不容易卡壳。不过, IMO 中较难的几何题中有不少通过计算法很难解出,中国队就普遍做的不好。所以我更推荐大家在学习几何的时候计算、纯几何方法都要熟练,运用“综合法”解题,这样才更容易稳定发挥。

数论

数论题目主要分成 3 类:传统型数论、估计型数论、结合型数论。传统类的数论主要用同余,阶与原根, Pell 方程,二次剩余来处理。我自己看的是潘承彪和潘承洞的 《 初等数论 》 的前面一部分章节,其实己经足够了。稍高级的技巧,比如关于素数分布、连分数的结论,其实也可以学学,在有些题目里会有帮助。传统类的数论中国人比较擅长。这一类的数论套路有限,多做一些题就可以了。另外,命题人讲座里的 《 初等数论 》 也不错,题目难度适中。不过这一类题目出现的频率与难度目前在逐渐下降。LTE引理很有用,算是一个“黑科技”,一定要熟练掌握。关于n!里素数的指数以及组合数里的数论性质也要熟。

估计型数论是最近出现的比较新颖的题目,一般是对一些量算两次 比如:Bertrand-Chebyshev定理和有关素数分布的结论的证明。在我的印象里,估计方法在处理 square-free 的时候很好用,但很多估计类题目其实并不算明显——很多题目使用估计的想法出其不意,要是没有往这方面想,就很难做出了。同时需要记住一些关于素数的结论,比如素数倒数和发散等等。

结合型数论,其实近年考的也不少,主要是与组合或者代数结合。( IMO 2016 T3 连几何都结合了起来,很有趣)

与代数结合的数论有整值数列,数论函数方程,整系数、整值多项式等。这一类题目有自己独特的处理方法,要专门寻找并练习。

与组合结合的数论题不少。这一类题目实际是“披着数论皮的组合”,在处理中常使用用抽屉原理、构造法等方法来解决。中国剩余定理往往在其中扮演了重要角色。

另外,还有一种整体思考类型的数论题目,最典型的题目是:“在 2n -1 个整数中总可以取出其中 n 个数,其和为 n 的倍数” ( Erdos- Ginzburg – Ziv 定理)。第一次见到这种方法肯定会觉得不可思议,但这种方法其实是证明存在性的一种较常见的手段。

综合型数论近年来在数论题目中出现的比例越来越高。事实上,跨分支出题是近年来的命题趋势。所以要提升自己的知识的综合运用能力。

组合

组合,大概就是前面三个分支的补集吧。做过 IMO 预选题的同学都知道组合的厉害一组合是四个分支中平均难度最高的分支,方法纷繁复杂,不易分专题训练:有人笑称一些组合题是“小学奥数”,其实有一定道理 ——很多组合题并不需要很多前置知识,答案也只有寥寥数行,却有很高的本质难度。所以组合题的训练是四个分支中最困难的,做组合题很依赖大脑中的“灵光一现”。当然,也正因为做组合题的方法较多,如果尝试某种方法久而未果,最好尝试新的方法,很可能会有收获。

关于组合,我大概能想到的专题有图论,集合,组合几何,组合恒等式,母函数以及其他杂题。图论,个人觉得 Bondy,和murty的《 Graph Theory with Applications》 是不错的教材,这里面己经有足够应付竞赛的性质和定理了:命题人里的 《 图论 》 也不错。当然,只看这样的书并不能熟悉真正的题目,我强烈推荐大家找本俄罗斯数学奥林匹克( RMO )的书来,找到里面所有的图论题来做。关于集合的问题出现的很多,但是方法其实与其他组合题差不多,有一些可以用图论里的方法。如 Hall 定理:另外一些题目可以用归纳法或者极端原理。集合里也有一些值得注意的定理,比如 Sperner 定理,有很多不同的证明,最好都要了解(因为有很多题目可以用类似定理某种证明的方法做出) 。组合几何,命题人讲座的那本还不错,但我也只是翻过。组合几何类型也很多,包括棋盘问题和格点问题,主要还是需要做大量的题目来熟悉竞赛题在考什么。

组合恒等式其实更多的时候主要采用代数或者数论的方法解决,只有少数组合恒等式可以用“组合”来解决。推荐(研究教程 》 里组合恒等式和母函数的章节。

母函数,有一本很不错的讲母函数的书,是 Graham ,Knuth,Patashnik 写的 《 Concrete Mathematics 》 。其中讲特殊数列,母函数和母函数的应用的部分非常详细,但缺点是比较长。当然如果没有这么多时问,单蹲的 《 母函数 》 也不错。

其他题就归结为杂题了。杂题类型很多,没有什么固定的方法,只能多做题寻找其中的规律。

特别的,我要提一下代数方法(比如线性代数法,组合零点定理等)以及概率方法。这些“新颖”的方法容易被忽视,但却有其用武之地,有兴趣的同学可以自己研究一下。 ( tips :在 AOPS 上找 IMO 2012 T3 和 IMO 2014 T6 ,有惊喜)

关于组合题,我强烈推荐 RMO 的题目。 RMO 里的组合题都非常好,不算很难,但是用到了很多方法。RMO 的题目一般偏重几何和组合,代数和数论会相对简单一些。除了 RMO ,莫斯科数学竞赛,圣彼得堡数学竞赛,全苏奥林匹克竞赛等竞赛题目风格类似,也非常优秀。

总结与感谢

如果大家认真地看完了之前写的一切,可能会有些迷茫,也可能有点晕。不过没事,其中的很多东西可能暂时不会用到,可以之后再看。

由于笔者水平有限,文章的逻辑有些混乱。内容也只是“填鸭式”地把我能想到的东西都写了出来:但其中,每一行字都是笔者的经验之谈。很多简短的话语中饱含了血的教训!希望大家能尽可能地理解我想表达的意思,在竞赛路上找到属于自己的天空。

最后,感谢一路陪伴的同学、老师一是你们的存在让我的竞赛之路如此丰富多彩;特别感谢 2017 年中国国家队教练组老师们的辛勤付出,老师们辛苦了!

以下是作者原文:

 

 


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