参加数学竞赛的若干益处

 

今年我们参加了Math League和AMC (American Math Competition)两项比赛, 不少学生努力参与尝试,总体成绩较去年取得了一些进步。为了让更多同学和家长了解这项活动,我总结了一些参加数学竞赛的益处列举如下,希望今后更多同学能够参与进来:

 

磨练技能

数学竞赛是数学课程的延续。准备数学竞赛的过程能够从广度和深度上拓展学生的数学知识和技能。

 

在深度上,数学竞赛也并非“深不可测”,也并非提前学习高年级的内容。灵活运用课内所学就能够应付绝大部分的竞赛练习。但相比于“一成不变”的课内练习,数学竞赛的习题更耐人寻味,有时考察学生对课内基础知识的理解,有时需要将不同数学分支的知识结合运用,寻找它们的联系

 

例如:今年数学大联盟初赛8、9年级的14题

In a regular 10-sided polygon, two pairs of different vertices (four different vertices altogether) are chosen at random, so that all points chosen are distinct from each other. What is the probability that the line segments determined by each pair of points do not interest?

在正十边形中随机抽取两对(四个)不同的顶点。求这两对顶点相应连成的两条线段不相交的概率。

 

从十形的十个点中任意抽取4个,

种可能。如果按照正常思路去分析然是不明智的。独考其中一种情况,于抽取得四个对应连接成的线段,只有以下、橙、三种可能。

 

 

 

只有AC和BD相交,所以对于这四个点来说相交的概率是2/3。任意四个点被抽中的几率是等可能的,所以最后答案就是2/3。同样的问题,选取合适的思路,即使小学生也能够理解。

 

 

按照常规的思路,通常会先去分母把方程化简为整式,但对于这道题,化简的结果是

这个结果并不能使我们有很大的收获。是否还有其他有用的信息我们能够用到?关键在于a, b, c都是正整数以及它们的大小关系。

 

解决这两个问题所用的方法都早已在课内的学习中熟稔。剑已在我们手中,就看我们如何去挥舞。

 

 

发展认知

数学竞赛的本质是锻炼学生解决问题的能力(Problem Solving)。学生在分析问题和解决问题的训练中能够逐渐培养和运用相应的数学思想。生活中遇到的问题各不相同,但思考问题的方法却可以迁移参照。

 

例如解决数学问题常用的“化归”的思想:是否能够将目标问题转化成等价的问题再解决(Sufficient and Necessary)?或者将大问题转化成若干个小问题再逐个击破。根据现有条件,我可以推导出什么可利用的信息(Synthesis)?或者从想要取得的结果倒推,我还需要做到什么(Analysis)?对于很困难的问题,是否有一些特例(Zoom in),亦或者对于一个问题,我是否能够找到它更一般的形式(Zoom out)。通常这类问题有什么规律(Induction), 分几种情况?(classification),我能否将不同对象的关系通过图表表示出来(Visualization)?问题的本质是什么?在问题中,哪些是变量(Variables)?哪些是不变的(Constant)?

匈牙利数学家波利亚(George Polya)在他的书How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method中对解决问题的方法做了很好的总结。在教育学中有一个概念叫“元认知”(Metacognition), 即“反思自己如何思考”的意思。它包括解决问题前的准备(Planning), 解决问题时监控自己的思路(Monitoring),和解决问题后的反思(Evaluating)。培养学生元认知的能力即是培养他们自主学习的能力。对他们今后的成长和应对新的问题和环境非常关键。而数学竞赛中对于解题的训练能够使学生的元认知能力得到充分发展。

 

 

 

锻炼心态

学生在遇到数学难题时往往会经历复杂的心理变化。从遇到一个有趣的问题时的好奇心,到挑战难题时的跃跃欲试。而在求解复杂的陌生问题时又会忐忑不安:这么难的问题我是否能够解出来?解题中尝试的过程也是在不断调整自己心态的过程。在问题被攻克后随着而来的是强烈而持久的喜悦。在这个过程中,面对困境敢于迎难而上(Grit),并能够不懈努力(Perseverance)的品质尤其重要。数学圈流传着一个笑话:

 

There are two ways to do great mathematics. The first is to be smarter than everybody else. The second way is to be stupider than everybody else – but persistent.

做数学有两个途径:第一个是比所有人都聪明;第二个是比所有人都笨但坚持到底。

——Raoul Bott

 

在数学竞赛中培养的坚韧不拔的精神会成为孩子一生的财富。

 

 

 

助推升学

AMC8是美国初中数学竞赛,是针对八年级一下的数学科测试。它由美国数学协会(Mathematical Association of America, 简称MAA)举办。每年全球有3000多所名校参与,仅在北美地区,正式登记应试的学生就超过600, 000人次。此项测验已经成美国中学校长推介为每年的主要活动之一,是世界上目前信度和效度最高的数学科测试。同系列的的比赛还有AMC10 & 12, 其中表现优异的学生会受邀参加美国数学邀请赛(AIME, American Invitational Mathematics Examination), 为美国数学奥赛国家队选拔人选参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO, International Mathematical Olympiad).

 

美国“数学大联盟杯赛”(Math League)是美国及北美地区影响力最大的中小学数学赛事之一。比赛每年举办一次,分为初赛、复赛和决赛三个阶段。初赛以激发数学学习兴趣,培养学生主动探索的精神为主。复赛的目的是为了启发学生解决生活中的问题,培养学生创造性思维、批判性思维、和实际解决问题的能力。夏令营和决赛的试题由美国“数学大联盟杯赛”和普林斯顿大学、哥伦比亚大学、斯坦福大学、纽约州立大学联合命题,具有很高的挑战性,是数学超常少年展现才华的绝佳平台。

 

 

 

享受快乐

除了以上提到的诸多益处,提高学习数学的兴趣是参加数学竞赛最大的收获。 国际数学大会2002年在北京召开,期间著名的数学家陈省身题词:“数学好玩”。

 

 

 

数学好玩在什么地方?8年级的黄德恺同学有自己独到的想法:

“从因为学好数学会得到来自老师以及家长的夸奖,学习数学的理由一直在变化。直到几年前,没有别的很复杂的理由,单纯的是数学好玩。

很多人觉得数学很难,很复杂,很枯燥。但其实我觉得数学的趣味性是非常高的。在我眼中,数学仿佛是一只万能胶,各种毫不相干的东西都能结合起来。虽然这跟数学本来就是因为需要使用而发展出来有关系,但依旧不影响数学的趣味。

当你发现一些貌似毫不相干的知识点背后的原理其实是一样的时候,那种突破自己脑洞的感觉真的不知如何去形容。比如说杨辉三角,排列组合以及两数之和的n次方的每一项的系数。这貌似毫不相干的知识点其实是背后有很多的原理是相同的。”

 

不同的学习阶段对“数学好玩”的体会不一样。“世之奇伟、瑰怪、非常之观,常在于险远”,数学好玩在于它的“难”(The challenges of doing math are often its rewards),在于攻克难关的喜悦,在于发现不同问题背后本质上的联系的惊喜,在于获得一个新的有效的视角的收获,在于应用数学理解生活中实际问题的自豪,也在于欣赏深刻的数学关系和结构的赞叹。

当代最杰出的数学家陶哲轩(Terence Tao)从小就通过数学竞赛展现了惊异的能力。他8岁半就升入了中学,10岁、11岁、12岁参加国际数学奥林匹克竞赛,分别获得铜牌、银牌、金牌。他在Solving Mathematical Problems-A Personal Perspective的前言中说道:

 

“当我是小学生时,形式运算的抽象美及其令人惊叹的、通过简单法则的重复而得出非凡结果的能力吸引了我;当我是高中生时,通过竞赛,我把数学当做一项运动,并享受解答设计巧妙的数学趣味题和解开每一个奥秘的“窍门”时的快乐;当我是大学生时,初次接触到构成现代数学核心的丰富、深刻、迷人的理论和体系,使我顿起敬畏之心;当我是研究生时,我为拥有自己的研究课题而感到骄傲,并从对以前未解决的问题提供原创性证明的过程中得到无以伦比的满足。直到自己开始作为一名研究型数学家的职业生涯后,我才开始理解隐藏在现代数学理论和问题背后的直觉力与原动力。”

 

数学竞赛能让学生更好地欣赏到数学美,但也可能因为对成绩的过度追求导致压力过大,最终使学生丧失对数学的兴趣。纯粹的非功利的追求更能够坚持下去。哪怕知识少学一些,以后还有系统学习的机会。在学习数学竞赛的道路上兴趣最重要。只要能够把对数学的兴趣保持下去,就会有不断探索的欲望。每攻克一道难题,就好像爬上一座山顶,与其纠结于谁爬的山高,不如纵情欣赏山顶一览无余的美景。

 

 

除了以上罗列的几点,数学竞赛还有很多其他益处。数学竞赛能为有好奇心、爱思考、勇于探索、有恒心的孩子们提供一个进一步学习的平台,在这个平台里他们相互一起学习,相互促进,往往能够迸发出1+1>2的学习效应。

AMC8/AMC10/AMC12/AIME

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