天才数学家陶哲轩亲授25条职业建议(一)

天才数学家陶哲轩亲授25条职业建议(二)天才数学家陶哲轩亲授25条职业建议(三)

陶哲轩是世界著名天才数学家,未满13岁即获得国际数学奥林匹克竞赛金牌,是数学领域最高奖“菲尔兹奖”获得者,被称为“数学莫扎特”。他在此文中总结了给数学爱好者和研究人员的25条建议或忠告,大师真知灼见,值得收藏。

作为一个天才数学家,陶哲轩教授几乎每隔一段时间就会收到一堆咨询,例如应该怎样研究数学、怎样写数学论文、怎样开始大学学习、怎样增加自己被名校录取的机会……他说:我没有“秘方”或其他一个放之四海而皆准的处方,告诉年轻人如何获得成功。但我可以给出一些忠告。

细读这些忠告,你会发现它们真的很有用,远远不止在于学术研究领域。

 

下面是陶哲轩的25条Career advice。

 

1、数学不仅是分数、考试和方法

作为一个大学生,需要重视成绩和考试,这些考试经常更强调记住技术和理论,而不是对实际概念的理解,或是智力以及直觉。然而,当你进入研究所学习之后,你会发现一种更高层次的学习(另外更重要的是——做)数学,它要求的能力超过紧紧会记忆和学习,或摹仿一个已有的论证或处理过的例子。這经常要求你抛弃(或至少修改)很多大学时期的学习习惯;比起简单的关注于智力测试如考试,更多的需要主动地学习和实践来提高你自己的理解。

同样,在大学及以下的阶段主要教授成熟和优美的数学理论,大部分是几十年或几百年以前做出的,而在研修生阶段你将开始接触前沿,正在发展的东西——它也许会与你在大学时习惯的东西显著不同,同时更有趣。

 

2、数学不仅是严格和证明

对大学生,老师经常首先以非正规、直观的方式教授数学(比如按照斜率和面积的方式描述导数和积分),然后才说到要恰当的处理这些东西,需要一种精确和正式得多的方式来处理和思考这个问题(比如使用epsilon delta来描述导数)。

知道如何严密的思考当然极其重要,因为这给了你避免很多常犯错误的规范,同时消除很多误解。不幸的是,这无意中使得“模糊的”或“直觉的”思考(例如启发性的推理,从例子中判断性的推断,或其他背景如物理的类比),因为“非严格”而遭到轻视。人们时常最终放弃开始的直觉,而只能从正式的层面上处理数学。

严格的要点并非消灭全部的直觉;而是应该被用来消灭有害的直觉,同时澄清和提高好的直觉。只有结合严格的形式化和好的直觉,人们才可以处理复杂的数学问题;人们需要前者来正确地处理细节,后者来正确处理大的图像。缺乏其中一者,你将费尽时间踉跄于黑暗之中(可能有教育意义,但是得不偿失)。所以当你完全适应了严格的数学思维,你应该重新尝试在这个问题上使用直觉,並且使用新的思维技能来测试和提炼这些直觉而不是抛弃他们。

理想的情况是每个启发性的论证都能自然地暗示它对应的严格证明,反之亦然。

 

3、努力工作

只依赖于聪明在最后时刻完成事情也许会暂时有效,但总体说来在研修生以及更高层次上这不会有用。

为了在数学上达到一定水准,你不仅需要思考,还需要读和写大量的东西。与舆论相反,数学突破不仅(或主要)靠天才的“我发现了!”瞬间的推动,而实际上很大程度是辛勤工作的产物。当然這些工作由经验和直觉指引。困难经常藏匿在细节之中,如果你觉得理解了一个数学领域,那你应该已经阅读了所有相关的文献,至少写出了这个领域的状况的概要,并且最终写出这个主题的完整和详细的处理方法。

如果你可以仅仅构思出主要的思路而让次要的凡人来补充细节,那就太舒服了,但是,相信我,数学中决无此事。

经验表明,只有细心集合了大量细节和其他论据(或至少证明思路)以支持你的“主要的思路” 的文章,才值得人们花时间关注。如果创造者都不愿意干这个,那么很可能没人会愿意做。

 

4、享受工作

某方面上这是上一条的推论。如果你不喜欢你的工作,那就很难投入足够的精力,从长期看持续投入精力是必要的。只因为时髦而从事一个领域远不如从事你欢喜的数学领域。

 

5、不要依据热门或闻名程度而作职业决定

进入一个领域或一个系,只因为它热门并非好主意,关注领域中的最著名的问题(或数学家),只因为他们的名气亦非良策——坦白说,就数学整体而言没有那么著名或者热门的东西,也不值得把追求这些当作你的首要目标。任何热门都很可能竞争激烈,只有拥有最坚实基础(特别的,大量领域中不那么热门方面的经验)的人才能够有所成就。

未解的著名问题几乎不可能“ab nihilo”解决。你需要先花很多时间在简单的(同时不著名)模型问题上,获取一些技術,直觉,中间结论,背景,和文献,从而找到有效的方法剔除无效的方法,然后才可能有机会解决领域内真正的大问题。(有时候,有些著名问题较容易的解决了,那只是因为拥有适当工具的合适的人以前没有注意到这个问题,但是対于研究很透彻的问题一般不会这样——尤其是那些已经有很多“不行”理论和反例的问题,这些理论和反例完全排除了一些着手的策略。)

因为类似的原因,你绝不应该以得奖或受到赏识为从事数学的主要原因。从长期来看,更好的方式是去做好的数学和对你的领域有所贡献,最终奖励和赏识自然会来的(实至名归)。

 

6、学习和再学习你的领域

数学研究中(包括你选择的专业)学无止境。

例如我仍然在学习基础调和分析中的惊人之处,而我写出此领域的论文已经十年之久了。只因为你知道一条基本引理X及其证明,你不应低估这条引理的价值——你能找到替代证明吗?你知道为何需要那些假设?已有了哪种推广,或是作为猜想的推广,抑或推广的思路?对某些应用,X是否有较弱的或是简单的形式?X在模型例子中起到何种作用?何时适合使用X?X能解决何种问题,而对哪些无能为力?在其他领域有哪些相似的引理?X是否可以归入一个更广泛的纲领?对你的领域作讲演尤其有用,或者写下讲稿或其他的说明材料,即使只为你个人服务。

通过内心的速记,你最终能够吸收即使是很难的结果,这不仅是你能够轻松使用它们,而且可以省下精力来学习更多的东西。

 

 

7、不要害怕学习你的领域外的东西

人们普遍有数学恐惧症。不幸的是,有时专业数学家也有数学恐惧症。如果为了在你的问题中取得进展需要学习其他数学领域,这是件好事——你将拓宽掌握的数学领域,同时你的工作将変得更有吸引力,不论是对你领域内的人还是对其他领域的人。

如果一个数学领域很活跃,那就值得去了解它为何如此引人,人们都在做些什么问题,有些什么棒的或者令人惊讶的见解(insight)、现象、结果。那样的话,如果你碰到了类似的问题、障碍或现象,你就知道从哪去找解决方法。

 

8、了解你的工具的局限性

数学教育(和研究论文)很自然地倾向于关注有效的技术。但是同等重要的是,知道你的工具何时失效,从而避免在从开始就注定失败的方法上浪费时间,转而寻找解决问题的新手段(或寻找新问题)。因而,知道一些反例,或容易分析的典型状况,就非常重要,同样重要的是知道你的工具能够处理的障碍和没希望解决的障碍。同样,你也应知道在什么情况下其他方法可以替代你选择的工具,而各种方法之间的优劣各是什么。

如果你把最喜欢的工具视为一种“魔杖”,一点就把问题神奇地给解了,可你却没有别的解法或其他方法来理解这个解答,这就表示你需要更好的理解這种工具(及其局限性)。

翰林国际教育资讯二维码